Come integrare le funzioni di radice quadrata

Contenuto

• Integrazione delle funzioni di base della radice quadrata
• Integrazione di funzioni di radice quadrata più complesse

L'integrazione delle funzioni è una delle applicazioni principali del calcolo. A volte, questo è semplice, come in:

F (x) = ∫ (x³ + 8) dx

In un esempio relativamente complicato di questo tipo, è possibile utilizzare una versione della formula di base per l'integrazione di integrali indefiniti:

∫ (xⁿ + A) dx = x^{(n + 1)}/ (n + 1) + An + C,

dove A e C sono costanti.

Quindi, per questo esempio,

∫ x³ + 8 = x⁴/ 4 + 8x + C.

Integrazione delle funzioni di base della radice quadrata

In superficie, l'integrazione di una funzione di radice quadrata è scomoda. Ad esempio, potresti essere ostacolato da:

F (x) = ∫ √dx

Ma puoi esprimere una radice quadrata come esponente, 1/2:

√ x³ = x^3(1/2) = x^(3/2)

L'integrale diventa quindi:

∫ (x^3/2 + 2x - 7) dx

a cui è possibile applicare la solita formula dall'alto:

= x^(5/2)/ (5/2) + 2 (x²/ 2) - 7x

= (2/5) x^(5/2) + x² - 7x

Integrazione di funzioni di radice quadrata più complesse

A volte, potresti avere più di un termine sotto il segno radicale, come in questo esempio:

F (x) = ∫ dx

Puoi usare la sostituzione u per procedere. Qui, hai impostato u uguale alla quantità nel denominatore:

u = √ (x - 3)

Risolvi questo per x quadrando entrambi i lati e sottraendo:

u² = x - 3

x = u² + 3

Questo ti permette di ottenere dx in termini di u prendendo la derivata di x:

dx = (2u) du

Sostituendo l'integrale originale si ottiene

F (x) = ∫ (u² + 3 + 1) / udu

= ∫du

= ∫ (2u² + 8) du

Ora puoi integrarlo usando la formula di base ed esprimendoti in termini di x:

∫ (2u² + 8) du = (2/3) u³ + 8u + C

= (2/3) ³ + 8 + C

= (2/3) (x - 3)^(3/2) + 8 (x - 3)^(1/2) + C