Come semplificare le espressioni razionali: procedura dettagliata

Contenuto

• I passaggi per semplificare le espressioni razionali
• Suggerimenti
• Un avvertimento sul denominatore
• Semplificazione delle espressioni razionali: esempi

Prima di iniziare a semplificare o altrimenti manipolare le espressioni razionali, prenditi un momento per rivedere qual è l'espressione razionale stessa: una frazione con un polinomio sia nel numeratore che nel denominatore. O, per dirla in altro modo, un rapporto tra un polinomio e un altro. Una volta identificata un'espressione razionale, il processo di semplificazione si riduce a tre passaggi.

I passaggi per semplificare le espressioni razionali

Il processo per semplificare le funzioni razionali segue una tabella di marcia abbastanza semplice. La prima cosa che devi fare è combinare termini simili, se non lo hai già fatto, per aiutarti a vedere chiaramente i polinomi.

Successivamente, fattore ogni polinomio. A volte tutto ciò che devi fare è scrivere ogni termine. Ad esempio, è chiaro che 4x (che in realtà è un polinomio, anche se ha solo un termine) ha due fattori: 4 e X. Ma con i polinomi più complicati, il tuo strumento migliore è spesso quello di riconoscere modelli per tipi specifici di polinomi di cui hai già imparato. Ad esempio, se hai prestato molta attenzione alle tue formule, potresti ricordare che un polinomio del modulo un'² - b² fattori fuori a (a + b) (a - b).

Una volta che i tuoi polinomi sono stati completamente fattorizzati, l'ultimo passaggio consiste nell'annullare tutti i fattori comuni che appaiono sia nel numeratore che nel denominatore. Il risultato è il tuo polinomio semplificato.

Suggerimenti

Un avvertimento sul denominatore

Potresti non essere sorpreso di sapere che c'è un piccolo problema qui. Di solito il dominio (o set di possibili X valori) per la tua espressione razionale sono considerati l'insieme di tutti i numeri reali. Ma se succede qualcosa per rendere zero il denominatore della tua frazione, il risultato è una frazione indefinita.

Cosa renderebbe zero il tuo denominatore? Di solito è sufficiente un piccolo esame per scoprirlo. Ad esempio, se il denominatore della tua frazione è stato ridotto ai fattori (x + 2) (x - 2), quindi il valore X = -2 renderebbe il primo fattore uguale a zero e X = 2 renderebbe il secondo fattore uguale a zero.

Quindi entrambi questi valori, -2 e 2, devono essere esclusi dal dominio della tua espressione razionale. Normalmente noterai questo con il segno "non uguale" o ≠. Ad esempio, se è necessario escludere -2 e 2 dal dominio, scrivere x ≠ -2, 2.

Semplificazione delle espressioni razionali: esempi

Ora che hai capito il processo di semplificazione delle espressioni razionali, è tempo di guardare un paio di esempi.

Esempio 1: Semplifica l'espressione razionale (X² - 4) / (x²+ 4x + 4)

Non ci sono termini simili da combinare qui, quindi puoi saltare quel primo passo. Successivamente, con i tuoi occhi acuti e un po 'di pratica, puoi individuare che il numeratore e il denominatore sono entrambi facilmente fattorizzabili:

(x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)

Forse lo noterai anche tu (x + 2) è un fattore sia nel numeratore che nel denominatore. Una volta annullato il fattore condiviso fuori, ti rimane con:

(x - 2) / (x + 2)

Hai semplificato il più possibile la tua espressione razionale, ma c'è un'altra cosa da fare: identificare eventuali "zero" o radici che porterebbero a una frazione indefinita, in modo da poterli escludere dal dominio. In questo caso, è facile vedere dall'esame che quando X = -2, il fattore in basso sarà uguale a zero. Quindi la tua espressione razionale semplificata è in realtà:

(x - 2) / (x + 2), x ≠ -2

Esempio 2: Semplifica l'espressione razionale x / (x² - 4x)

Non ci sono termini simili da combinare, quindi puoi passare direttamente al factoring esaminando. Non è troppo difficile da individuare che puoi considerare un X fuori dal termine inferiore, che ti dà:

x / x (x - 4)

È possibile annullare il X fattore sia dal numeratore che dal denominatore, che ti lascia con:

1 / (x - 4)

Ora la tua espressione razionale è semplificata, ma devi anche prenderne nota X valori che comporterebbero una frazione indefinita. In questo caso, X = 4 restituirebbe un valore pari a zero nel denominatore. Quindi la tua risposta è:

1 / (x - 4), x ≠ 4