Come calcolare CG

Contenuto

• Come scrivere sul baricentro
• Come calcolare CG di un triangolo
• Formula del baricentro per un rettangolo
• L'equazione del centro di gravità
• Trucchi per trovare il centro di gravità

Prima di discutere il baricentro, assumiamo alcuni parametri. Uno, quello che stai trattando con un oggetto che è sulla superficie terrestre, non nello spazio da qualche parte. E due, che l'oggetto è ragionevolmente piccolo - diciamo, non un'astronave che è parcheggiata sulla Terra, in attesa di decollare.Una volta eliminate tutte quelle influenze extraterrestri, sei in una posizione eccellente per calcolare il baricentro per gli oggetti geometrici usando una formula relativamente semplice - e in effetti, a causa di quelle condizioni appena impostate, dovrai usare la stessa formula per trovare il baricentro come per trovare il centro di massa.

Come scrivere sul baricentro

Il baricentro in un piano bidimensionale è generalmente indicato dalle coordinate (x_cg, y_cg) o talvolta dalle variabili X e y con un bar sopra di loro. Inoltre, il termine "centro di gravità" è talvolta abbreviato in CG.

Come calcolare CG di un triangolo

Il tuo libro di matematica o fisica avrà spesso delle tabelle per determinare il centro di equilibrio di determinate figure. Ma per alcune forme geometriche comuni, è possibile utilizzare la formula del baricentro appropriata per trovare quel baricentro delle forme.

Per i triangoli, il centro di gravità si trova nel punto in cui tutte e tre le mediane si intersecano. Se inizi da un vertice del triangolo e poi disegni una linea retta nel punto medio dell'altro lato, questa è una mediana. Fai lo stesso per gli altri due vertici e il punto in cui tutte e tre le mediane si intersecano è il centro di gravità dei triangoli.

E, naturalmente, esiste una formula per questo. Se le coordinate del baricentro dei triangoli sono (x_cg, y_cg), trovi le sue coordinate così:

X_cg = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Dove (x₁, y₁), (X₂, y₂) e (x₃, y₃) sono le coordinate dei triangoli tre vertici. Puoi scegliere a quale vertice è assegnato quale numero.

Formula del baricentro per un rettangolo

Hai notato che per trovare il baricentro di un triangolo, devi solo fare la media del valore delle coordinate x, quindi fare la media del valore delle coordinate y e usare i due risultati come coordinate per il tuo baricentro?

Per trovare il baricentro di un rettangolo, fai esattamente la stessa cosa. Ma per rendere i tuoi calcoli ancora più facili, supponi che il rettangolo sia orientato esattamente su un piano di coordinate cartesiane (quindi non è impostato su un angolo) e che il suo vertice in basso a sinistra è all'origine del grafico. In tal caso, per trovare (x_cg, y_cg) per un rettangolo, tutto ciò che devi calcolare è:

X_cg = larghezza ÷ 2

y_cg = altezza ÷ 2

Se non vuoi spostare il rettangolo all'origine del piano di coordinate o se per qualsiasi motivo non è esattamente quadrato agli assi delle coordinate, puoi affrontare questa formula dall'aspetto leggermente più spaventoso, ma comunque efficace, per fare una media di tutte le sue coordinate x per trovare il valore di x_cge calcola la media di tutte le coordinate y per trovare il valore di y_cg:

X_cg = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

L'equazione del centro di gravità

E se fosse necessario calcolare il baricentro per una forma che si adatta a tutte le ipotesi menzionate per la prima volta (in pratica, non si sta cercando di fare letteralmente scienza missilistica trovando il baricentro per gli oggetti nello spazio), ma non rientra in nessuno dei le categorie appena menzionate o nelle classifiche sul retro del tuo libro? Quindi puoi suddividere la forma in forme più familiari e utilizzare le seguenti equazioni per trovare il loro centro di gravità collettivo:

X_cg = (a₁X₁ + a₂X₂ +. . . + a_nX_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

y_cg = (a₁y₁ + a₂y₂ +. . . + a_ny_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

O per dirla in altro modo, x_cg è uguale all'area della sezione 1 per la sua posizione sull'asse x, aggiunta all'area della sezione 2 per la sua posizione, e così via fino a quando non hai aggiunto l'area per la posizione di tutte le sezioni; quindi dividere l'intero importo per l'area totale di tutte le sezioni. Quindi fai lo stesso per y.

Q: Come posso trovare l'area di ogni sezione? Dividere la tua forma complessa o irregolare in poligoni più familiari ti consente di utilizzare formule standardizzate per trovare l'area. Ad esempio, se hai diviso quella forma in pezzi rettangolari, puoi usare la lunghezza della formula × larghezza per trovare l'area di ogni pezzo.

D: Qual è la "posizione" di ogni sezione? La posizione di ciascuna sezione è la coordinata appropriata dal centro di gravità di quella sezione. Quindi se vuoi y₂ (la posizione per il segmento 2), in realtà è necessario fornire la coordinata y per quel centro di gravità dei segmenti. Ancora una volta, questo è il motivo per cui si suddivide un oggetto di forma strana in forme più familiari, perché è possibile utilizzare le formule già discusse per trovare il centro di gravità di ogni forma e quindi estrarre le coordinate appropriate.

D: Dove va la mia forma sul piano delle coordinate? Puoi scegliere dove si trova la tua forma sul piano delle coordinate - tieni solo presente che il centro di gravità delle tue risposte sarà in relazione allo stesso punto di riferimento. È più facile posizionare l'oggetto nel primo quadrante del grafico, con il bordo inferiore contro l'asse xe il bordo sinistro contro l'asse y in modo che tutti i valori x e y siano positivi, ma anche abbastanza piccoli da essere gestibile.

Trucchi per trovare il centro di gravità

Se hai a che fare con un singolo oggetto, l'intuizione e un po 'di logica a volte sono tutto ciò che serve per trovare il suo centro di gravità. Ad esempio, se stai considerando un disco piatto, il centro di gravità sarà il centro del disco. In un cilindro, è il punto medio sull'asse del cilindro. Per un rettangolo (o quadrato), è il punto in cui convergono le linee diagonali.

Potresti aver notato uno schema qui: se l'oggetto in questione ha una linea di simmetria, il centro di gravità sarà su quella linea. E se ha più assi di simmetria, il centro di gravità sarà il punto in cui questi assi si intersecano.

Infine, se stai cercando di trovare il baricentro per un oggetto veramente complesso, hai due opzioni: O estrai i tuoi migliori integrali di calcolo (vedi Risorse per un triplo integrale che rappresenta il baricentro per una massa non uniforme) o inserisci i tuoi dati in un calcolatore del baricentro appositamente progettato. (Vedi Risorse per un esempio di un calcolatore del centro di gravità per gli aerei radiocomandati.)