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Un poligono è una figura bidimensionale chiusa con 3 o più lati diritti (non curvi) e un poligono a 12 facce è noto come dodecagono. Un dodecagono regolare è uno con lati e angoli uguali ed è possibile derivare una formula per il calcolo della sua area. Un dodecagono irregolare ha lati di diverse lunghezze e angoli diversi. Una stella a sei punte è un esempio. Non esiste un modo semplice per calcolare l'area di una figura a 12 facce irregolare a meno che non ti capiti di averla tracciata su un grafico e di leggere le coordinate di ciascuno dei vertici. In caso contrario, la strategia migliore è quella di dividere la figura in forme regolari per le quali è possibile calcolare l'area.
Calcolo dell'area di un poligono normale a 12 facciate
Per calcolare l'area di un dodecagono regolare, devi trovare il suo centro e il modo migliore per farlo è quello di scrivere un cerchio attorno ad esso che tocchi appena ciascuno dei suoi vertici. Il centro del cerchio è il centro del dodecagono e la distanza dal centro della figura a ciascuno dei suoi vertici è semplicemente il raggio del cerchio (r). Ognuno dei 12 lati della figura ha la stessa lunghezza, quindi denotalo con s.
Hai bisogno di un'altra misura e questa è la lunghezza di una linea perpendicolare tracciata dal punto medio di ciascun lato al centro della forma a 12 facce. Questa linea è conosciuta come l'apotema. Indica la sua lunghezza per m. Divide ogni sezione formata dalle linee del raggio in due triangoli ad angolo retto. Non lo sai m, ma puoi trovarlo usando il teorema di Pitagora.
Le 12 linee del raggio dividono il cerchio che hai tracciato attorno al dodecagono in 12 sezioni uguali, quindi al centro della figura, l'angolo che ciascuna linea traccia con quella accanto è di 30 gradi. Ognuna delle 12 sezioni formate dalle linee del raggio è costituita da una coppia di triangoli rettangolari con ipotenusa r e un angolo di 15 gradi. Il lato adiacente all'angolo è m, quindi puoi trovarlo usando r e il seno dell'angolo.
sin (15) = m/re risolvere per m
m = r × sin (15)
Ora puoi trovare l'area di ciascuno dei triangoli isosceli inscritti nel dodecagono, perché conosci la lunghezza della base - che è S - e l'altezza, m. L'area di ciascun triangolo è 1/2 × base × altezza
= 1/2 × S × m
= 1/2 × (S × r × sin (15))
Esistono 12 sezioni di questo tipo, quindi moltiplicate per 12 per trovare l'area totale della normale forma a 12 facce:
Area del dodecagono regolare = 6 × (S × r × sin (15))
Trovare l'area di un dodecagono irregolare
Non esiste una formula per trovare l'area di un dodecagono irregolare, poiché le lunghezze dei lati e degli angoli non sono uguali. È persino difficile individuare il centro. La strategia migliore è quella di dividere la figura in forme regolari, calcolare l'area di ciascuna e aggiungerle.
Se la forma viene tracciata su un grafico e si conoscono le coordinate dei vertici, esiste una formula che è possibile utilizzare per calcolare l'area. Se ogni punto (n) è definito da (Xn, yn) e si gira intorno alla figura in ordine, in senso orario o antiorario, per ottenere una serie di 12 punti, l'area è:
Area = | (X1y2 − y1X2) + (X2y3 − y2X3) ... + (X11y12 − y11X12) +(X12y1 − y12X1)| ÷ 2.