Se dovessi prendere un quadrato e disegnare due linee diagonali, si incrocerebbero al centro e formerebbero quattro triangoli retti. Le due diagonali si incrociano a 90 gradi. Si potrebbe intuire intuitivamente che due diagonali di un cubo, ognuna che corre da un angolo del cubo al suo angolo opposto e si incrociano al centro, attraverserebbero anche ad angolo retto. Ti sbaglieresti. Determinare l'angolo in cui due diagonali in un cubo si incrociano è leggermente più complicato di quanto possa sembrare a prima vista, ma fa un'ottima pratica per comprendere i principi di geometria e trigonometria.
Definire la lunghezza di un bordo come un'unità. Per definizione, ogni lato del cubo ha una lunghezza identica di un'unità.
Usa il teorema di Pitagora per determinare la lunghezza di una diagonale che corre da un angolo all'angolo opposto sulla stessa faccia. Chiamalo "diagonale corta" per chiarezza. Ogni lato del triangolo rettangolo formato è un'unità, quindi la diagonale deve essere uguale a √2.
Usa il teorema di Pitagora per determinare la lunghezza di una diagonale che corre da un angolo all'angolo opposto della faccia opposta. Chiamalo "diagonale lunga". Hai un triangolo rettangolo con un lato uguale a 1 unità e un lato uguale a una "diagonale corta", √2 unità. Il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei lati, quindi l'ipotenusa deve essere √3. Ogni diagonale che corre da un angolo del cubo all'angolo opposto è lunga √3 unità.
Disegna un rettangolo per rappresentare due lunghe diagonali che si incrociano al centro del cubo. Vuoi trovare l'angolo della loro intersezione. Questo rettangolo sarà alto 1 unità e largo √2 unità. Le lunghe diagonali si dividono in due al centro di questo rettangolo e formano due diversi tipi di triangolo. Uno di questi triangoli ha un lato uguale a un'unità e gli altri due lati pari a √3 / 2 (metà della lunghezza di una lunga diagonale). Anche l'altro ha due lati pari a √3 / 2 ma l'altro lato è uguale a √2. Devi solo analizzare uno dei triangoli, quindi prendi il primo e risolvi l'angolo sconosciuto.
Usa la formula trigonometrica c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C per risolvere l'angolo sconosciuto di questo triangolo. C = 1, e sia a che b sono uguali a √3 / 2. Inserendo questi valori nell'equazione, determinerai che il coseno del tuo angolo sconosciuto è 1/3. Prendendo il coseno inverso di 1/3 si ottiene un angolo di 70,5 gradi.