Come semplificare le frazioni radicali

Contenuto

• Annullamento di espressioni radicali da una frazione
• Semplificare l'espressione radicale
• Razionalizzare il denominatore

Le frazioni radicali non sono piccole frazioni ribelli che rimangono fuori fino a tardi, bevendo e fumando erba. Invece, sono frazioni che includono i radicali - di solito radici quadrate quando si è introdotti per la prima volta al concetto, ma in seguito si potrebbero incontrare anche radici cubiche, quarte radici e simili, che sono tutte chiamate anche radicali. A seconda di cosa esattamente il tuo insegnante ti sta chiedendo di fare, ci sono due modi per semplificare le frazioni radicali: estrapolare completamente il radicale, semplificarlo o "razionalizzare" la frazione, il che significa che si elimina il radicale dal denominatore ma si può ancora hanno un radicale nel numeratore.

Annullamento di espressioni radicali da una frazione

Considera la tua prima opzione, prendendo in considerazione il radicale dalla frazione. In realtà ci sono due modi per farlo. Se esiste lo stesso radicale tutti i termini sia nella parte superiore che inferiore della frazione, puoi semplicemente scomporre e cancellare l'espressione radicale. Ad esempio, se hai:

(2√3) / (3√3_)_

Puoi fattorizzare entrambi i radicali, perché sono presenti in ogni termine nel numeratore e nel denominatore. Questo ti lascia con:

√3/√3 × 2/3

E poiché qualsiasi frazione con gli stessi valori diversi da zero in numeratore e denominatore è uguale a uno, è possibile riscriverlo come:

1 × 2/3

O semplicemente 2/3.

Semplificare l'espressione radicale

A volte ti troverai di fronte a un'espressione radicale che non ha una risposta concisa, come √3 dell'esempio precedente. In tal caso di solito preserverai il termine radicale così com'è, usando operazioni di base come factoring o annullamento per rimuoverlo o isolarlo. Ma a volte c'è una risposta ovvia. Considera la seguente frazione:

(√4)/(√9)

In questo caso, se conosci le tue radici quadrate, puoi vedere che entrambi i radicali rappresentano in realtà interi familiari. La radice quadrata di 4 è 2 e la radice quadrata di 9 è 3. Quindi, se vedi le radici quadrate familiari, puoi semplicemente riscrivere la frazione con loro nella loro forma intera semplificata. In questo caso, avrai:

2/3

Questo funziona anche con radici cubiche e altri radicali. Ad esempio, la radice cubica di 8 è 2 e la radice cubica di 125 è 5. Quindi, se hai riscontrato:

(³√8) / (³√125)

Con un po 'di pratica potresti vedere subito che si semplifica in modo molto più semplice e facile da gestire:

2/5

Razionalizzare il denominatore

Spesso gli insegnanti ti permetteranno di mantenere espressioni radicali nel numeratore della tua frazione; ma, proprio come il numero zero, i radicali causano problemi quando si presentano nel denominatore o nel numero inferiore della frazione. Quindi, l'ultimo modo in cui ti potrebbe essere chiesto di semplificare le frazioni radicali è un'operazione chiamata razionalizzazione, il che significa semplicemente far uscire il radicale dal denominatore. Spesso ciò significa che invece l'espressione radicale compare nel numeratore.

Considera la frazione

4/_√_5

Non puoi semplificare facilmente _√_5 in un numero intero e anche se lo fattori, rimani ancora con una frazione che ha un radicale nel denominatore, come segue:

1/_√_5 × 4/1

Quindi nessuno dei metodi già discussi funzionerà. Ma se ricordi le proprietà delle frazioni, una frazione con qualsiasi numero diverso da zero sia in alto che in basso è uguale a 1. Quindi potresti scrivere:

√_5/√_5 = 1

E poiché puoi moltiplicare 1 volte qualsiasi altra cosa senza cambiare il valore di quell'altra cosa, puoi anche scrivere quanto segue senza cambiare effettivamente il valore della frazione:

√_5/√5 × 4/√_5

Una volta moltiplicato, succede qualcosa di speciale. Il numeratore diventa 4_√_5, il che è accettabile perché il tuo obiettivo era semplicemente quello di far uscire il radicale dal denominatore. Se appare nel numeratore, puoi gestirlo.

Nel frattempo, il denominatore diventa √_5 × √5 o (√_5)². E poiché una radice quadrata e una quadrata si annullano a vicenda, il che si semplifica semplicemente a 5. Quindi la tua frazione è ora:

4_√_5 / 5, che è considerata una frazione razionale perché non c'è radicale nel denominatore.