Contenuto
- TL; DR (Too Long; Didnt Read)
- Che cos'è un numero complesso?
- Regole di base per l'algebra con numeri complessi
- Dividere i numeri complessi
- Semplificazione di numeri complessi
L'algebra spesso implica la semplificazione delle espressioni, ma alcune espressioni sono più confuse da gestire rispetto ad altre. I numeri complessi riguardano la quantità nota come io, un numero "immaginario" con la proprietà io = √ − 1. Se devi semplicemente un'espressione che coinvolge un numero complesso, potrebbe sembrare scoraggiante, ma è un processo abbastanza semplice dopo aver appreso le regole di base.
TL; DR (Too Long; Didnt Read)
Semplifica i numeri complessi seguendo le regole dell'algebra con numeri complessi.
Che cos'è un numero complesso?
I numeri complessi sono definiti dalla loro inclusione di io termine, che è la radice quadrata di meno uno. Nella matematica di livello base, non esistono realmente radici quadrate di numeri negativi, ma occasionalmente si manifestano in problemi di algebra. Il modulo generale per un numero complesso mostra la loro struttura:
z = un' + bi
Dove z etichetta il numero complesso, un' rappresenta qualsiasi numero (chiamato la parte "reale") e B rappresenta un altro numero (chiamato la parte "immaginaria"), entrambi i quali possono essere positivi o negativi. Quindi un numero complesso di esempio è:
z = 2 −4_i_
Poiché tutte le radici quadrate di numeri negativi possono essere rappresentate da multipli di io, questa è la forma per tutti i numeri complessi. Tecnicamente, un numero normale descrive solo un caso speciale di un numero complesso in cui B = 0, quindi tutti i numeri potrebbero essere considerati complessi.
Regole di base per l'algebra con numeri complessi
Per aggiungere e sottrarre numeri complessi, è sufficiente aggiungere o sottrarre separatamente le parti reali e immaginarie. Quindi per numeri complessi z = 2 - 4_i_ e w = 3 + 5_i_, la somma è:
z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)
=(2 + 3) + (−4 + 5)io
= 5 + 1_i_ = 5 + io
Sottraendo i numeri funziona allo stesso modo:
z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)
= (2 − 3) + (−4 − 5)io
= −1 - 9_i_
La moltiplicazione è un'altra semplice operazione con numeri complessi, perché funziona come una normale moltiplicazione, tranne per il fatto che devi ricordarlo io2 = −1. Quindi per calcolare 3_i_ × −4_i_:
3_i_ × −4_i_ = −12_i_2
Ma da allora io2= −1, quindi:
-12_i_2 = −12 ×−1 = 12
Con numeri complessi completi (usando z = 2 - 4_i_ e w = 3 + 5_i_ di nuovo), li moltiplichi come faresti con numeri ordinari come (un' + B) (c + d), utilizzando il metodo "first, inner, external, last" (FOIL), per dare (un' + B) (c + d) = corrente alternata + avanti Cristo + anno Domini + bd. Tutto quello che devi ricordare è semplificare qualsiasi istanza di io2. Quindi per esempio:
z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)
= (2 × 3) + (−4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (−4_i_ × 5_i_)
= 6 −12_i_ + 10_i_ - 20_i_2
= 6 −2_i_ + 20 = 26 + 2_i_
Dividere i numeri complessi
La divisione di numeri complessi comporta la moltiplicazione del numeratore e del denominatore della frazione per il coniugato complesso del denominatore. Il coniugato complesso significa semplicemente la versione del numero complesso con la parte immaginaria invertita nel segno. Quindi per z = 2 - 4_i_, il coniugato complesso z = 2 + 4_i_ e per w = 3 + 5_i_, w = 3 −5_i_. Per il problema:
z / w = (2-4_i_) / (3 + 5_i_)
Il coniugato necessario è w*. Dividi il numeratore e il denominatore per questo per dare:
z / w = (2 - 4_i_) (3 −5_i_) / (3 + 5_i _) (3 - 5_i_)
E poi lavori come nella sezione precedente. Il numeratore indica:
(2 - 4_i_) (3 −5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_2
= −14 - 22_i_
E il denominatore dà:
(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_2
= 9 + 25 = 34
Questo significa:
z / w = (−14 - 22_i_) / 34
= −14/34 - 22_i_ / 34
= −7/17 - 11_i_ / 17
Semplificazione di numeri complessi
Usa le regole sopra come necessario per semplificare espressioni complesse. Per esempio:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - io)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ io))
Ciò può essere semplificato utilizzando la regola di addizione nel numeratore, la regola di moltiplicazione nel denominatore e quindi completando la divisione. Per il numeratore:
(4 + 2_i_) + (2 - io) = 6 + io
Per il denominatore:
(2 + 2_i _) (2+ io) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_2
= (4 - 2) + 6_i_
= 2 + 6_i_
Rimettendoli in posizione si ottiene:
z = (6 + io) / (2 + 6_i_)
Moltiplicare entrambe le parti per il coniugato del denominatore porta a:
z = (6 + io) (2-6_i_) / (2 + 6_i_) (2-6_i_)
= (12 + 2_i_ - 36_i_ −6_i_2) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_2)
= (18-34_i_) / 40
= (9 - 17_i_) / 20
= 9/20 −17_i_ / 20
Quindi questo significa z semplifica come segue:
z = ((4 + 2_i_) + (2 - io)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ io)) = 9/20 −17_i_ / 20