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Una volta che inizi a risolvere equazioni algebriche che coinvolgono polinomi, diventa molto utile la capacità di riconoscere forme di polinomi speciali e facilmente fattorizzabili. Uno dei polinomi a "fattore facile" più utili da individuare è il quadrato perfetto, o il trinomio che risulta dalla quadratura di un binomio. Una volta identificato un quadrato perfetto, il factoring nei suoi singoli componenti è spesso una parte vitale del processo di risoluzione dei problemi.
Identificazione dei Trinomi quadrati perfetti
Prima di poter considerare un trinomio quadrato perfetto, devi imparare a riconoscerlo. Un quadrato perfetto può assumere una delle due forme:
Alcuni esempi di quadrati perfetti che potresti vedere nel "mondo reale" dei problemi di matematica includono:
Qual è la chiave per riconoscere questi quadrati perfetti?
Controlla il primo e il terzo termine del trinomio. Sono entrambi quadrati? Se sì, capire di cosa sono quadrati. Ad esempio, nel secondo esempio "mondo reale" di cui sopra, y2 - 2_y_ + 1, il termine y2 è ovviamente il quadrato di y. Il termine 1 è, forse meno ovviamente, il quadrato di 1, perché 12 = 1.
Moltiplica insieme le radici del primo e del terzo termine. Per continuare l'esempio, questo è tutto y e 1, che ti dà y × 1 = 1_y_ o semplicemente y.
Quindi, moltiplica il tuo prodotto per 2. Continuando l'esempio, hai 2_y._
Infine, confronta il risultato dell'ultimo passaggio con il termine medio del polinomio. Si abbinano? Nel polinomio y2 - 2_y_ + 1, lo fanno. (Il segno è irrilevante; sarebbe anche una corrispondenza se il termine medio fosse + 2_y_.)
Poiché la risposta nel passaggio 1 è stata "sì" e il risultato ottenuto nel passaggio 2 corrisponde al termine intermedio del polinomio, sai che stai guardando un trinomio quadrato perfetto.
Realizzare un Trinomiale quadrato perfetto
Una volta che sai che stai guardando un trinomio quadrato perfetto, il processo di factoring è abbastanza semplice.
Identifica le radici, o i numeri al quadrato, nel primo e nel terzo termine del trinomio. Considera un altro dei tuoi trinomi di esempio che già conosci è un quadrato perfetto, X2 + 8_x_ + 16. Ovviamente il numero al quadrato nel primo termine è X. Il numero al quadrato nel terzo termine è 4, perché 42 = 16.
Ripensa alle formule per trinomi quadrati perfetti. Sai che i tuoi fattori assumeranno la forma (un' + B)(un' + B) o il modulo (un' – B)(un' – B), dove un' e B sono i numeri al quadrato nel primo e terzo termine. Quindi puoi scrivere i tuoi fattori in questo modo, omettendo i segni nel mezzo di ogni termine per ora:
(un' ? B)(un' ? B) = un'2 ? 2_ab_ + B2
Per continuare l'esempio sostituendo le radici del tuo attuale trinomio, hai:
(X ? 4)(X ? 4) = X2 + 8_x_ + 16
Controlla il medio termine del trinomio. Ha un segno positivo o un segno negativo (o, per dirla in altro modo, viene aggiunto o sottratto)? Se ha un segno positivo (o viene aggiunto), entrambi i fattori del trinomio hanno un segno più nel mezzo. Se ha un segno negativo (o viene sottratto), entrambi i fattori hanno un segno negativo nel mezzo.
Il termine intermedio dell'esempio corrente trinomiale è 8_x_ - è positivo - quindi ora hai considerato il trinomio quadrato perfetto:
(X + 4)(X + 4) = X2 + 8_x_ + 16
Controlla il tuo lavoro moltiplicando i due fattori insieme. Applicando il FOIL o il primo, esterno, interno, ultimo metodo ti dà:
X2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Semplificare questo dà il risultato X2 + 8_x_ + 16, che corrisponde al tuo trinomio. Quindi i fattori sono corretti.