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I tassi di cambiamento si manifestano ovunque nella scienza, e specialmente in fisica attraverso quantità come velocità e accelerazione. I derivati descrivono matematicamente il tasso di variazione di una quantità rispetto a un'altra, ma a volte il loro calcolo può essere complicato e si potrebbe presentare un grafico anziché una funzione in forma di equazione. Se ti viene presentato un grafico di una curva e devi trovare la derivata da essa, potresti non essere in grado di essere preciso come con un'equazione, ma puoi facilmente fare una stima solida.
TL; DR (Too Long; Didnt Read)
Scegli un punto sul grafico per trovare il valore della derivata in.
Disegna una linea retta tangente alla curva del grafico a questo punto.
Prendi la pendenza di questa linea per trovare il valore della derivata nel punto scelto sul grafico.
Che cos'è un derivato?
Al di fuori dell'ambientazione astratta di differenziazione di un'equazione, potresti essere un po 'confuso su cosa sia realmente un derivato. In algebra, una derivata di una funzione è un'equazione che ti dice il valore della "pendenza" della funzione in qualsiasi punto. In altre parole, ti dice quanto una quantità cambia a causa di una piccola modifica nell'altra. Su un grafico, il gradiente o la pendenza della linea indica quanto la variabile dipendente (posizionata sul y-asse) cambia con la variabile indipendente (sul X-asse).
Per i grafici a linea retta, si determina il tasso (costante) di variazione calcolando la pendenza del grafico. Le relazioni descritte dalle curve non sono così facili da gestire, ma il principio secondo cui la derivata significa semplicemente che la pendenza (in quel punto specifico) è ancora vero.
Per le relazioni descritte da curve, la derivata assume un valore diverso in ogni punto lungo la curva. Per stimare la derivata del grafico, è necessario scegliere un punto in cui prendere la derivata. Ad esempio, se si dispone di un grafico che mostra la distanza percorsa rispetto al tempo, su un grafico in linea retta, la pendenza indica la velocità costante. Per le velocità che cambiano con il tempo, il grafico sarebbe una curva, ma una linea retta che tocca appena la curva in un punto (una linea tangenziale alla curva) rappresenta la velocità di variazione in quel punto specifico.
Scegli un punto in cui devi conoscere il derivato. Utilizzando l'esempio della distanza percorsa rispetto al tempo, selezionare l'ora in cui si desidera conoscere la velocità del viaggio. Se è necessario conoscere la velocità in diversi punti, è possibile eseguire questo processo per ogni singolo punto. Se vuoi conoscere la velocità 15 secondi dopo l'inizio del movimento, scegli il punto sulla curva a 15 secondi sul X-asse.
Traccia una linea tangenziale alla curva nel punto che ti interessa. Prenditi il tuo tempo quando lo fai, perché è la parte più importante e più impegnativa del processo. La tua stima sarà migliore se tracci una linea tangente più accurata. Tieni un righello fino al punto sulla curva e regola il suo orientamento in modo che la linea che tracci sarà solo tocca la curva nel punto singolo a cui sei interessato.
Disegna la linea finché il grafico lo consente. Assicurati di leggere facilmente due valori per entrambi X e y coordinate, una vicino all'inizio della linea e una vicino alla fine. Non è assolutamente necessario tracciare una linea lunga (tecnicamente qualsiasi linea retta è adatta), ma le linee più lunghe tendono ad essere più facili da misurare la pendenza.
Individua due punti sulla linea e prendi nota del X e y coordinate per loro. Ad esempio, immagina la tua linea tangente come due punti notevoli in X = 1, y = 3 e X = 10, y = 30, che è possibile chiamare il punto 1 e il punto 2. Utilizzando i simboli X1 e y1 per rappresentare le coordinate del primo punto e X2 e y2 per rappresentare le coordinate del secondo punto, la pendenza m è dato da:
m = (y2 - y1) ÷ (X2 – X1)
Questo ti dice la derivata della curva nel punto in cui la linea tocca la curva. Nell'esempio, X1 = 1, X2 = 10, y1 = 3 e y2 = 30, quindi:
m = (30 – 3) ÷ (10 – 1)
= 27 ÷ 9
= 3
Nell'esempio, questo risultato sarebbe la velocità nel punto scelto. Quindi se il X- l'asse è stato misurato in secondi e il y- l'asse è stato misurato in metri, il risultato significherebbe che il veicolo in questione stava viaggiando a 3 metri al secondo. Indipendentemente dalla quantità specifica che stai calcolando, il processo di stima del derivato è lo stesso.