Contenuto
- TL; DR (Too Long; Didnt Read)
- Lo sfondo: come varia y con x?
- Relazioni dirette
- Relazioni inverse
- Rapporti diretti vs. inversi: la differenza
Comprendere le relazioni tra due variabili è l'obiettivo per la maggior parte della scienza. Se hai in mente una specifica domanda scientifica come: Cosa succede alla temperatura globale se aumenta la quantità di anidride carbonica nell'atmosfera o come varia la forza di gravità quando ti allontani dalla fonte o sei più interessato a un'impostazione matematica astratta, scoprire la differenza tra relazioni dirette e inverse è essenziale se si desidera descrivere queste relazioni. In breve, le relazioni dirette aumentano o diminuiscono insieme, ma le relazioni inverse si muovono in direzioni opposte.
TL; DR (Too Long; Didnt Read)
In una relazione diretta, un aumento di una quantità porta ad una corrispondente diminuzione nell'altra. Questa ha la formula matematica di y = kx, dove K è una costante. Per un cerchio, circonferenza = pi × diametro, che è una relazione diretta con pi come costante. Un diametro maggiore significa una circonferenza maggiore.
In una relazione inversa, un aumento di una quantità porta ad una corrispondente diminuzione nell'altra. Matematicamente, questo è espresso come y = K/X. Per un viaggio, tempo di viaggio = distanza ÷ velocità, che è una relazione inversa con la distanza percorsa come costante. Un viaggio più veloce significa un tempo di percorrenza più breve.
Lo sfondo: come varia y con x?
Scienziati e matematici che si occupano di relazioni dirette e inverse stanno rispondendo alla domanda generale, come funziona y variare con X? Qui, X e y sostituire due variabili che potrebbero essere praticamente qualsiasi cosa. Ad esempio, come fa l'altezza che rimbalza una palla (y) dipende da quanto è caduto da (X)? Per convenzione, X è la variabile indipendente e y è la variabile dipendente. Quindi il valore di y dipende dal valore di X, non viceversa, e il matematico ha un certo controllo X (ad esempio, può scegliere l'altezza da cui far cadere la palla). Quando esiste una relazione diretta o inversa, X e y sono proporzionati tra loro in qualche modo.
Relazioni dirette
Una relazione diretta è proporzionale nel senso che quando una variabile aumenta, così fa l'altra. Usando l'esempio dell'ultima sezione, maggiore è il livello da cui si rilascia una palla, maggiore è il suo rimbalzo. Un cerchio con un diametro maggiore avrà una circonferenza più grande. Se aumenti la variabile indipendente (X, come il diametro del cerchio o l'altezza della caduta della sfera), aumenta anche la variabile dipendente e viceversa.
Una relazione diretta è lineare. La circonferenza di un cerchio è C = π_D_, dove C significa circonferenza e D significa diametro. Pi è sempre lo stesso, quindi se raddoppi il valore di D, il valore di C raddoppia anche. Se hai tracciato un grafico di questa relazione, equivarrebbe a una linea retta con circonferenza zero a D = 0, 3,14 a D = 1 e 31,4 a D = 10. Il gradiente del grafico indica il valore della costante.
Relazioni inverse
Le relazioni inverse funzionano in modo diverso. Se aumenti X, il valore di y diminuisce. Ad esempio, se ti sposti più rapidamente verso la destinazione, il tempo di viaggio diminuirà. In questo esempio, X è la tua velocità e y è il tempo di viaggio. Raddoppiando la velocità si dimezza il tempo di viaggio e aumentando la velocità di dieci volte il tempo di viaggio è dieci volte più breve.
Matematicamente, questo tipo di relazione ha la forma: y = K / X, dove K è una costante (ricopre lo stesso ruolo di pi nell'esempio di relazione diretta). Tuttavia, le relazioni inverse non sono rette. Quando inizi ad aumentare X, y diminuisce molto rapidamente, ma mentre continui ad aumentare X il tasso di diminuzione di y diventa più lento.
Ad esempio, se X è la lunghezza di una coppia di lati di un rettangolo, y è la lunghezza dell'altra coppia di lati e K è l'area, la formula K = xy è valido, quindi y = K ÷ X. In questo caso, y è inversamente correlato a X. Per un'area K = 12, questo dà y = 12 ÷ X. Per X = 3, questo mostra y = 4. Per X = 6, quindi y = 2. Per X = 12, quindi y = 1. All'inizio un aumento di 3 pollici X diminuisce y di 2, ma poi un aumento di 6 pollici X diminuisce solo y di 1. Questo è il motivo per cui le relazioni inverse sono curve in calo che diventano meno profonde man mano che ci si sposta lungo di esse.
Rapporti diretti vs. inversi: la differenza
Nelle relazioni dirette, un aumento di X porta ad un aumento di dimensioni corrispondenti in ye una diminuzione ha l'effetto opposto. Questo crea un grafico a linee rette. In relazioni inverse, in aumento X porta ad una corrispondente riduzione di ye una diminuzione di X porta ad un aumento di y. Questo crea un grafico curvo in cui il declino all'inizio è rapido ma diventa più lento per valori maggiori di X.