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In matematica, a volte sorge la necessità di dimostrare se le funzioni sono dipendenti o indipendenti l'una dall'altra in senso lineare. Se si hanno due funzioni che dipendono linearmente, la rappresentazione grafica delle equazioni di tali funzioni si traduce in punti che si sovrappongono. Le funzioni con equazioni indipendenti non si sovrappongono quando sono rappresentate graficamente. Un metodo per determinare se le funzioni sono dipendenti o indipendenti è calcolare Wronskian per le funzioni.
Che cos'è un Wronskian?
Wronskian di due o più funzioni è ciò che è noto come determinante, che è una funzione speciale utilizzata per confrontare oggetti matematici e dimostrare alcuni fatti su di essi. Nel caso di Wronskian, il determinante viene utilizzato per dimostrare la dipendenza o l'indipendenza tra due o più funzioni lineari.
The Wronskian Matrix
Per calcolare Wronskian per le funzioni lineari, le funzioni devono essere risolte per lo stesso valore all'interno di una matrice che contiene sia le funzioni che i loro derivati. Un esempio di ciò è W (f, g) (t) = | ff((tt)) gg((tt)) |, che fornisce Wronskian per due funzioni (f e g) che vengono risolte per un singolo valore maggiore di zero (t); puoi vedere le due funzioni f (t) e g (t) nella riga superiore della matrice e le derivate f (t) e g (t) nella riga inferiore. Si noti che Wronskian può essere utilizzato anche per set più grandi. Se, ad esempio, testate tre funzioni con un Wronskian, allora potreste popolare una matrice con le funzioni e le derivate di f (t), g (t) e h (t).
Risolvere Wronskian
Una volta che le funzioni sono disposte in una matrice, moltiplicare in modo incrociato ciascuna funzione rispetto alla derivata dell'altra funzione e sottrarre il primo valore dal secondo. Per l'esempio sopra, questo ti dà W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). Se la risposta finale è uguale a zero, ciò indica che le due funzioni sono dipendenti. Se la risposta è diversa da zero, le funzioni sono indipendenti.
Esempio di Wronskian
Per darti un'idea migliore di come funziona, supponi che f (t) = x + 3 e g (t) = x - 2. Usando un valore di t = 1, puoi risolvere le funzioni come f (1) = 4 eg (1) = -1. Dato che si tratta di funzioni lineari di base con una pendenza di 1, le derivate di f (t) e g (t) sono uguali a 1. Moltiplicando i valori in diagonale si ottiene W (f, g) (1) = (4 + 1) - (-1 + 1), che fornisce un risultato finale di 5. Sebbene entrambe le funzioni lineari abbiano la stessa pendenza, sono indipendenti perché i loro punti non si sovrappongono. Se f (t) avesse prodotto un risultato di -1 anziché 4, Wronskian avrebbe invece dato un risultato pari a zero per indicare la dipendenza.