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Le proprietà associative, insieme alle proprietà commutative e distributive, forniscono la base per gli strumenti algebrici utilizzati per manipolare, semplificare e risolvere le equazioni. Tuttavia, queste proprietà non sono utili solo nella classe matematica, ma aiutano anche a semplificare i problemi matematici quotidiani. Mentre ci sono solo due proprietà associative, la proprietà associativa dell'aggiunta e la proprietà associativa della sottrazione, due proprietà associative "pseudo" di sottrazione e divisione possono essere usate con un pensiero in più.
Proprietà associativa dell'aggiunta
La proprietà associativa di addizione ti consente di raggruppare alcune parti di una catena di termini o "blocchi" che vengono aggiunti senza cambiare il significato o la risposta. Questo raggruppamento viene effettuato spostando le posizioni tra parentesi. Ad esempio, (3 + 4 + 5) + (7 + 6) potrebbe essere modificato usando la proprietà associativa di addizione per assomigliare a questo: (3 + 4) + (5 + 7 + 6). Puoi verificare che la proprietà sia vera seguendo l'ordine delle operazioni, che dice che le operazioni tra parentesi devono essere fatte per prime, e osservando che (12) + (13) è uguale a 25 mentre (7) + (18) è uguale a 25.
Proprietà associativa di moltiplicazione
La proprietà associativa della moltiplicazione funziona esattamente come quella dell'addizione tranne per il fatto che si occupa dell'operazione di moltiplicazione. Pertanto, sostiene che è possibile modificare le parentesi in una stringa di moltiplicazione senza influire sul risultato. Ad esempio, (15 x 2) (3 x 4) (6 x 2) potrebbe essere riscritto come (15 x 2 x 3) (4 x 6 x 2) e otterresti comunque la stessa risposta. Questa proprietà ti consente anche di lavorare con la moltiplicazione quando si tratta di variabili e dei loro coefficienti. Ad esempio, non è possibile eseguire 4 (3X) perché X è sconosciuta e si dovrebbe fare prima 3 x X in base all'ordine delle operazioni. Tuttavia, la proprietà associativa della moltiplicazione consente di riscrivere 4 (3X) come (4x3) X che quindi fornisce 12X.
Sottrazione
Non esiste una proprietà associativa di sottrazione. Tuttavia, in alcuni casi puoi lavorare con la sottrazione modificandolo in "più un numero negativo". Ad esempio, (3X - 4X) + (13X - 2X - 6X) potrebbe essere prima cambiato in (3X + -4X) + (13X + -2X + -6X). Quindi, puoi applicare la proprietà associativa dell'aggiunta in modo che appaia così: (3X + -4X + 13X) + (-2X + 6X). Questo, tuttavia, non funzionerà se il segno di sottrazione nel problema originale si trova tra i set di parentesi. (Per questo, la proprietà distributiva è necessaria).
Divisione
Non esiste inoltre alcuna proprietà associativa di divisione. Pertanto, la divisione deve essere riscritta come moltiplicata per un reciproco. Se un'espressione dice: (5 x 7/3) (3/4 x 6), dovresti cambiarla in: (5 x 7 x 1/3) x (3 x 1/4 x 6). Successivamente, è possibile utilizzare la proprietà associativa per scriverla come (5 x 7) x (1/3 x 3 x 1/4 x 6). Tuttavia, come con la sottrazione, non è possibile utilizzare questa tecnica se il segno di divisione è tra parentesi.