La distanza euclidea è la distanza tra due punti nello spazio euclideo. Lo spazio euclideo fu originariamente ideato dal matematico greco Euclide intorno al 300 a.E.V. studiare le relazioni tra angoli e distanze. Questo sistema di geometria è ancora in uso oggi ed è quello che gli studenti delle scuole superiori studiano più spesso. La geometria euclidea si applica specificamente agli spazi di due e tre dimensioni. Tuttavia, può essere facilmente generalizzato a dimensioni di ordine superiore.
Calcola la distanza euclidea per una dimensione. La distanza tra due punti in una dimensione è semplicemente il valore assoluto della differenza tra le loro coordinate. Matematicamente, questo è mostrato come | p1 - q1 | dove p1 è la prima coordinata del primo punto e q1 è la prima coordinata del secondo punto. Usiamo il valore assoluto di questa differenza poiché la distanza è normalmente considerata avere solo un valore non negativo.
Prendi due punti P e Q nello spazio euclideo bidimensionale. Descriveremo P con le coordinate (p1, p2) e Q con le coordinate (q1, q2). Ora costruisci un segmento di linea con i punti finali di P e Q. Questo segmento di linea formerà l'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Estendendo i risultati ottenuti nel passaggio 1, notiamo che le lunghezze delle gambe di questo triangolo sono date da | p1 - q1 | e | p2 - q2 |. La distanza tra i due punti verrà quindi indicata come lunghezza dell'ipotenusa.
Usa il teorema di Pitagora per determinare la lunghezza dell'ipotenusa nel Passaggio 2. Questo teorema afferma che c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 dove c è la lunghezza di un ipotenusa di triangoli rettangoli e a, b sono le lunghezze dell'altra due gambe. Questo ci dà c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). La distanza tra 2 punti P = (p1, p2) e Q = (q1, q2) nello spazio bidimensionale è quindi ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Estendi i risultati del passaggio 3 allo spazio tridimensionale. La distanza tra i punti P = (p1, p2, p3) e Q = (q1, q2, q3) può quindi essere data come ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Generalizzare la soluzione al passaggio 4 per la distanza tra due punti P = (p1, p2, ..., pn) e Q = (q1, q2, ..., qn) in n dimensioni. Questa soluzione generale può essere data come ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2).