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Una distribuzione binomiale descrive una variabile X se 1) esiste un numero fisso n osservazioni della variabile; 2) tutte le osservazioni sono indipendenti l'una dall'altra; 3) la probabilità di successo p è lo stesso per ogni osservazione; e 4) ogni osservazione rappresenta esattamente uno dei due esiti possibili (da cui la parola "binomiale" - pensa "binario"). Quest'ultima qualifica distingue le distribuzioni binomiali dalle distribuzioni di Poisson, che variano continuamente anziché discretamente.
Tale distribuzione può essere scritta B (n, p).
Calcolo della probabilità di una determinata osservazione
Supponiamo che un valore k si trovi da qualche parte lungo il grafico della distribuzione binomiale, che è simmetrico rispetto alla media np. Per calcolare la probabilità che un'osservazione abbia questo valore, è necessario risolvere questa equazione:
P (X = k) = (n: k) pK(1-p)(N-k)
dove (n: k) = (n!) ÷ (k!) (n - k)!
Il "!" indica una funzione fattoriale, ad es. 27! = 27 x 26 x 25 x ... x 3 x 2 x 1.
Esempio
Supponiamo che un giocatore di basket effettui 24 tiri liberi e abbia un tasso di successo stabilito del 75 percento (p = 0,75). Quali sono le probabilità che colpirà esattamente 20 dei suoi 24 colpi?
Calcola prima (n: k) come segue:
(n!) ÷ (k!) (n - k)! = 24! ÷ (20!) (4!) = 10.626
pK = (0.75)20 = 0.00317
(1-p) (N-k) = (0.25)4 = 0.00390
Pertanto P (20) = (10.626) (0,00317) (0,00390) = 0,1314.
Questo giocatore ha quindi una probabilità del 13,1 percento di fare esattamente 20 tiri liberi su 24, in linea con ciò che l'intuizione potrebbe suggerire su un giocatore che di solito colpirebbe 18 tiri liberi su 24 (a causa del suo tasso di successo stabilito del 75 percento).