Contenuto
- Perché le funzioni esponenziali sono importanti
- Da una coppia di punti a un grafico
- Un punto sull'asse X.
- Nessuno dei due punti sull'asse X.
- Un esempio dal mondo reale
Se conosci due punti che ricadono su una particolare curva esponenziale, puoi definire la curva risolvendo la funzione esponenziale generale usando quei punti. In pratica, questo significa sostituire i punti con y e x nell'equazione y = abX. La procedura è più semplice se il valore x per uno dei punti è 0, il che significa che il punto si trova sull'asse y. Se nessuno dei due punti ha un valore x pari a zero, il processo di risoluzione per xey è un po 'più complicato.
Perché le funzioni esponenziali sono importanti
Molti sistemi importanti seguono schemi esponenziali di crescita e decadimento. Ad esempio, il numero di batteri in una colonia di solito aumenta in modo esponenziale e la radiazione ambientale nell'atmosfera a seguito di un evento nucleare di solito diminuisce in modo esponenziale. Prendendo i dati e disegnando una curva, gli scienziati sono in una posizione migliore per fare previsioni.
Da una coppia di punti a un grafico
Qualsiasi punto su un grafico bidimensionale può essere rappresentato da due numeri, che di solito sono scritti nella forma (x, y), dove x definisce la distanza orizzontale dall'origine e y rappresenta la distanza verticale. Ad esempio, il punto (2, 3) è due unità a destra dell'asse y e tre unità sopra l'asse x. D'altra parte, il punto (-2, -3) è di due unità a sinistra dell'asse y. e tre unità sotto l'asse x.
Se hai due punti, (x1, y1) e (x2, y2), è possibile definire la funzione esponenziale che passa attraverso questi punti sostituendoli nell'equazione y = abX e risolvendo per a e b. In generale, devi risolvere questa coppia di equazioni:
y1 = abx1 e y2 = abx2, .
In questa forma, la matematica sembra un po 'complicata, ma sembra meno dopo aver fatto alcuni esempi.
Un punto sull'asse X.
Se uno dei valori x, dire x1 - è 0, l'operazione diventa molto semplice. Ad esempio, risolvendo l'equazione per i punti (0, 2) e (2, 4) si ottiene:
2 = ab0 e 4 = ab2. Dal momento che sappiamo che b0 = 1, la prima equazione diventa 2 = a. Sostituendo a nella seconda equazione si ottiene 4 = 2b2, che semplificiamo a b2 = 2 o b = radice quadrata di 2, che equivale a circa 1,41. La funzione di definizione è quindi y = 2 (1.41)X.
Nessuno dei due punti sull'asse X.
Se nessuno dei due valori x è zero, risolvere la coppia di equazioni è leggermente più ingombrante. Henochmath ci guida attraverso un semplice esempio per chiarire questa procedura. Nel suo esempio, ha scelto la coppia di punti (2, 3) e (4, 27). Ciò produce la seguente coppia di equazioni:
27 = ab4
3 = ab2
Se dividi la prima equazione per la seconda, otterrai
9 = b2
quindi b = 3. È possibile che anche b sia uguale a -3, ma in questo caso assume che sia positivo.
Puoi sostituire questo valore con b in entrambe le equazioni per ottenere a. È più facile usare la seconda equazione, quindi:
3 = a (3)2 che può essere semplificato a 3 = a9, a = 3/9 o 1/3.
L'equazione che passa attraverso questi punti può essere scritta come y = 1/3 (3)X.
Un esempio dal mondo reale
Dal 1910, la crescita della popolazione umana è stata esponenziale e, tracciando una curva di crescita, gli scienziati sono in una posizione migliore per prevedere e pianificare il futuro. Nel 1910, la popolazione mondiale era di 1,75 miliardi e nel 2010 era di 6,87 miliardi. Prendendo 1910 come punto di partenza, questo dà la coppia di punti (0, 1,75) e (100, 6,87). Poiché il valore x del primo punto è zero, possiamo facilmente trovare a.
1,75 = ab0 o a = 1,75. Collegare questo valore, insieme a quelli del secondo punto, nell'equazione esponenziale generale produce 6,87 = 1,75 b100, che dà il valore di b come centesima radice di 6,87 / 1,75 o 3,93. Quindi l'equazione diventa y = 1,75 (centesima radice di 3,93)X. Anche se ci vuole più di una semplice regola per farlo, gli scienziati possono usare questa equazione per proiettare i numeri della popolazione futura per aiutare i politici nel presente a creare politiche appropriate.