Contenuto
- Operazioni matematiche inverse
- Le funzioni possono essere inverse o dirette
- Due funzioni possono avere una relazione inversa tra loro
Puoi guardare le relazioni inverse in matematica in tre modi. Il primo modo è considerare le operazioni che si annullano a vicenda. Addizione e sottrazione sono le due operazioni più ovvie che si comportano in questo modo.
Un secondo modo di esaminare le relazioni inverse è quello di considerare il tipo di curve che producono quando si rappresentano graficamente le relazioni tra due variabili. Se la relazione tra le variabili è diretta, la variabile dipendente aumenta quando si aumenta la variabile indipendente e il grafico curva verso valori crescenti di entrambe le variabili. Tuttavia, se la relazione è inversa, la variabile dipendente diventa più piccola quando aumenta quella indipendente e il grafico curva verso valori più piccoli della variabile dipendente.
Alcune coppie di funzioni forniscono un terzo esempio di relazioni inverse. Quando si rappresentano graficamente funzioni inverse l'una sull'altra su un asse x-y, le curve appaiono come immagini speculari l'una dell'altra rispetto alla linea x = y.
Operazioni matematiche inverse
L'aggiunta è la più basilare delle operazioni aritmetiche e viene fornita con un gemello malvagio - sottrazione - che può annullare ciò che fa. Diciamo che inizi con 5 e aggiungi 7. Ottieni 12, ma se sottrai 7, rimarrai con il 5 con cui hai iniziato. L'inverso dell'addizione è la sottrazione e il risultato netto dell'aggiunta e della sottrazione dello stesso numero equivale all'aggiunta di 0.
Esiste una relazione inversa simile tra moltiplicazione e divisione, ma c'è una differenza importante. Il risultato netto di moltiplicare e dividere un numero per lo stesso fattore è moltiplicare il numero per 1, che lo lascia invariato. Questa relazione inversa è utile quando si semplificano espressioni algebriche complesse e si risolvono equazioni.
Un'altra coppia di operazioni matematiche inverse sta elevando un numero a un esponente "n" e prendendo l'ennesima radice del numero. La relazione quadrata è la più semplice da considerare. Se si piazza 2, si ottiene 4 e se si prende la radice quadrata di 4, si ottiene 2. Questa relazione inversa è utile anche da ricordare quando si risolvono equazioni complesse.
Le funzioni possono essere inverse o dirette
Una funzione è una regola che produce uno, e solo uno, risultato per ogni numero inserito. L'insieme di numeri immessi viene chiamato dominio della funzione e l'insieme di risultati che la funzione produce è l'intervallo. Se la funzione è diretta, una sequenza di domini di numeri positivi che diventano più grandi produce una sequenza di numeri che diventano anche più grandi. F (x) = 2x + 2, f (x) = x2 ef (x) = √x sono tutte funzioni dirette.
Una funzione inversa si comporta in modo diverso. Quando i numeri nel dominio diventano più grandi, i numeri nell'intervallo diventano più piccoli. F (x) = 1 / x è la forma più semplice di una funzione inversa. Man mano che x diventa più grande, f (x) si avvicina sempre di più a 0. Fondamentalmente, qualsiasi funzione con la variabile di input nel denominatore di una frazione, e solo nel denominatore, è una funzione inversa. Altri esempi includono f (x) = n / x, dove n è qualsiasi numero, f (x) = n / √x e f (x) = n / (x + w) dove w è un numero intero.
Due funzioni possono avere una relazione inversa tra loro
Un terzo esempio di relazione inversa in matematica è una coppia di funzioni inverse tra loro. Ad esempio, supponiamo di inserire i numeri 2, 3, 4 e 5 nella funzione y = 2x + 1.Ottieni questi punti: (2,5), (3,7), (4,9) e (5,11). Questa è una linea retta con pendenza 2 e intercetta y 1.
Ora inverti i numeri tra parentesi per creare una nuova funzione: (5,2), (7,3), (9,4) e (11,5). L'intervallo della funzione originale diventa il dominio di quello nuovo e il dominio della funzione originale diventa l'intervallo di quello nuovo. È anche una linea, ma la sua pendenza è 1/2 e la sua intercettazione y è -1/2. Usando la forma y = mx + b di una linea, trovi che l'equazione della linea sia y = (1/2) (x - 1). Questo è l'inverso della funzione originale. Si potrebbe facilmente ricavarlo cambiando xey nella funzione originale e semplificando per ottenere y da solo a sinistra del segno di uguale.