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A volte la "crescita esponenziale" è solo una figura retorica, un riferimento a tutto ciò che cresce irragionevolmente o incredibilmente rapidamente. Ma in alcuni casi, puoi prendere letteralmente l'idea della crescita esponenziale. Ad esempio, una popolazione di conigli può crescere in modo esponenziale man mano che ogni generazione prolifera, quindi prolifera la sua prole e così via. Anche il reddito aziendale o personale può crescere in modo esponenziale. Quando sei chiamato a fare calcoli della crescita esponenziale nel mondo reale, lavorerai con tre informazioni: valore iniziale, tasso di crescita (o decadimento) e tempo.
TL; DR (Too Long; Didnt Read)
TL; DR (Too Long; Didnt Read)
Per calcolare la crescita esponenziale, utilizzare la formula y(t) = a__ekt, dove un' è il valore all'inizio, K è il tasso di crescita o decadimento, t è tempo e y(t) è il valore delle popolazioni al momento t.
Come calcolare i tassi di crescita esponenziale
Immagina che uno scienziato stia studiando la crescita di una nuova specie di batteri. Mentre poteva inserire i valori della quantità iniziale, del tasso di crescita e del tempo in un calcolatore di crescita della popolazione, ha deciso di calcolare manualmente il tasso di crescita delle popolazioni di batteri.
Guardando indietro ai suoi record meticolosi, lo scienziato vede che la sua popolazione iniziale era di 50 batteri. Cinque ore dopo, ha misurato 550 batteri.
Inserendo le informazioni degli scienziati nell'equazione per crescita esponenziale o decadimento, y(t) = a__ekt, lui ha:
550 = 50_eK_5
L'unico sconosciuto rimasto nell'equazione è Ko il tasso di crescita esponenziale.
Per iniziare a risolvere K, prima dividi entrambi i lati dell'equazione per 50. Questo ti dà:
550/50 = (50_eK_5) / 50, che semplifica:
11 = e_k_5
Quindi, prendi il logaritmo naturale di entrambi i lati, che è indicato come ln (X). Questo ti dà:
ln (11) = ln (e_k_5)
Il logaritmo naturale è la funzione inversa di eX, quindi "annulla" efficacemente il file eX funzione sul lato destro dell'equazione, lasciandoti con:
ln (11) = _k_5
Quindi, dividi entrambi i lati per 5 per isolare la variabile, che ti dà:
K = ln (11) / 5
Ora conosci il tasso di crescita esponenziale per questa popolazione di batteri: K = ln (11) / 5. Se hai intenzione di fare ulteriori calcoli con questa popolazione, ad esempio collegando il tasso di crescita all'equazione e stimando la dimensione della popolazione a t = 10 ore - è meglio lasciare la risposta in questo modulo. Ma se non stai eseguendo ulteriori calcoli, puoi inserire quel valore in un calcolatore di funzioni esponenziali - o nel tuo calcolatore scientifico - per ottenere un valore stimato di 0,479579. A seconda dei parametri esatti dell'esperimento, potresti arrotondarlo a 0,48 / ora per facilitare il calcolo o la notazione.