Contenuto
- Matrici, autovalori e autovettori: cosa significano
- Come calcolare gli autovalori
- Suggerimenti
- Alla ricerca di autovettori
Quando ti viene presentata una matrice in una lezione di matematica o fisica, ti viene spesso chiesto di trovare i suoi autovalori. Se non sei sicuro di cosa significhi o come farlo, il compito è scoraggiante e comporta molte terminologie confuse che peggiorano ulteriormente le cose. Tuttavia, il processo di calcolo degli autovalori non è troppo impegnativo se si ha dimestichezza con la risoluzione di equazioni quadratiche (o polinomiali), a condizione di apprendere le basi di matrici, autovalori e autovettori.
Matrici, autovalori e autovettori: cosa significano
Le matrici sono matrici di numeri in cui A sta per il nome di una matrice generica, in questo modo:
( 1 3 )
UN = ( 4 2 )
I numeri in ciascuna posizione variano e possono anche esserci espressioni algebriche al loro posto. Questa è una matrice 2 × 2, ma sono disponibili in varie dimensioni e non hanno sempre un numero uguale di righe e colonne.
Trattare con le matrici è diverso dal trattare con i numeri ordinari e ci sono regole specifiche per moltiplicare, dividere, aggiungere e sottrarre l'uno dall'altro. I termini "autovalore" e "autovettore" sono usati nell'algebra della matrice per riferirsi a due quantità caratteristiche rispetto alla matrice. Questo problema di autovalore ti aiuta a capire cosa significa il termine:
UN ∙ v = λ ∙ v
UN è una matrice generale come prima, v è un vettore e λ è un valore caratteristico. Guarda l'equazione e nota che quando moltiplichi la matrice per il vettore v, l'effetto è di riprodurre lo stesso vettore moltiplicato per il valore λ. Questo è un comportamento insolito e guadagna il vettore v e quantità nomi speciali λ: autovettore ed autovalore. Questi sono valori caratteristici della matrice perché moltiplicare la matrice per l'autovettore lascia invariato il vettore a parte la moltiplicazione per un fattore dell'autovalore.
Come calcolare gli autovalori
Se hai il problema dell'autovalore per la matrice in qualche forma, trovare l'autovalore è facile (perché il risultato sarà un vettore uguale a quello originale, tranne moltiplicato per un fattore costante - l'autovalore). La risposta si trova risolvendo l'equazione caratteristica della matrice:
det (UN – λio) = 0
Dove io è la matrice identità, che è vuota a parte una serie di 1 che scorre diagonalmente lungo la matrice. "Det" si riferisce al determinante della matrice, che per una matrice generale:
(a b)
UN = (c d)
È dato da
det UN = annuncio –bc
Quindi l'equazione caratteristica significa:
(a - λ b)
det (UN – λio) = (c d - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0
Come matrice di esempio, definiamola UN come:
( 0 1 )
UN = (−2 −3 )
Quindi ciò significa:
det (UN – λio) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0
= −λ (−3 – λ) + 2
= λ2 + 3 λ + 2 = 0
Le soluzioni per λ sono gli autovalori e lo risolvi come qualsiasi equazione quadratica. Le soluzioni sono λ = - 1 e λ = - 2.
Suggerimenti
Alla ricerca di autovettori
Trovare gli autovettori è un processo simile. Usando l'equazione:
(UN – λ) ∙ v = 0
con ciascuno degli autovalori che hai trovato a sua volta. Questo significa:
(a - λ b) (v1 ) (a - λ) v1 + b v2 (0)
(UN – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v2 ) = c v1 + (d - λ) v2 = (0)
Puoi risolverlo considerando ogni riga a turno. Hai solo bisogno del rapporto di v1 per v2, perché ci saranno infinite soluzioni potenziali per v1 e v2.