Come fattorizzare i polinomi con le frazioni

Contenuto

• Polinomi con frazioni definite
• Nozioni di base sul factoring - Proprietà distributiva e metodo FOIL
• Passaggi da eseguire durante il frazionamento delle frazioni polinomiali
• Valutazione delle equazioni tramite decomposizione parziale della frazione
• Semplifica il denominatore
• Riorganizzare il numeratore

Il modo migliore per fattorizzare i polinomi con le frazioni inizia con la riduzione delle frazioni a termini più semplici. I polinomi rappresentano espressioni algebriche con due o più termini, più specificamente, la somma di più termini che hanno espressioni diverse della stessa variabile. Le strategie che aiutano a semplificare i polinomi comprendono il factoring del più grande fattore comune, seguito dal raggruppamento dell'equazione nei termini più bassi. Lo stesso vale anche quando si risolvono i polinomi con le frazioni.

Polinomi con frazioni definite

Hai tre modi per visualizzare la frase polinomi con le frazioni. La prima interpretazione si rivolge ai polinomi con frazioni per coefficienti. In algebra, il coefficiente è definito come la quantità numerica o la costante trovata prima di una variabile. In altre parole, i coefficienti per 7a, b e (1/3) c sono rispettivamente 7, 1 e (1/3). Due esempi, quindi, di polinomi con coefficienti di frazione sarebbero:

(1/4) x² + 6x + 20 e x² + (3/4) x + (1/8).

La seconda interpretazione di "polinomi con frazioni" si riferisce ai polinomi esistenti in forma di frazione o rapporto con un numeratore e un denominatore, in cui il polinomio numeratore è diviso per il polinomio denominatore. Ad esempio, questa seconda interpretazione è illustrata da:

(X² + 7x + 10) ÷ (x² + 11x + 18)

La terza interpretazione, nel frattempo, riguarda la decomposizione parziale della frazione, nota anche come espansione parziale della frazione. A volte le frazioni polinomiali sono complesse in modo tale che quando vengono "scomposte" o "scomposte" in termini più semplici, vengono presentate come somme, differenze, prodotti o quozienti di frazioni polinomiali. Per illustrare, la complessa frazione polinomiale di (8x + 7) ÷ (x² + x - 2) viene valutato mediante decomposizione parziale della frazione, che, per inciso, comporta il factoring dei polinomi, per essere + nella forma più semplice.

Nozioni di base sul factoring - Proprietà distributiva e metodo FOIL

I fattori rappresentano due numeri che moltiplicati insieme equivalgono a un terzo numero. Nelle equazioni algebriche, il factoring determina quali due quantità sono state moltiplicate insieme per arrivare a un dato polinomio. La proprietà distributiva è fortemente seguita quando si moltiplicano i polinomi. La proprietà distributiva essenzialmente consente di moltiplicare una somma moltiplicando ciascun numero singolarmente prima di aggiungere i prodotti. Osservare, ad esempio, come viene applicata la proprietà distributiva nell'esempio di:

7 (10x + 5) per arrivare al binomio di 70x + 35.

Ma se due binomi vengono moltiplicati insieme, viene utilizzata una versione estesa della proprietà distributiva tramite il metodo FOIL. FOIL rappresenta l'acronimo di First, Outer, Inner e Last termini che vengono moltiplicati. Quindi, i polinomi di factoring comportano l'esecuzione all'indietro del metodo FOIL. Prendi i due esempi sopra menzionati con i polinomi contenenti coefficienti di frazione. L'esecuzione all'indietro del metodo FOIL su ciascuno di essi comporta i fattori di:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) per il primo polinomio e i fattori di:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) per il secondo polinomio.

Esempio: (1/4) x² + 6x + 20 = ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)

Esempio: x² + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))

Passaggi da eseguire durante il frazionamento delle frazioni polinomiali

Dall'alto, le frazioni polinomiali implicano un polinomio nel numeratore diviso per un polinomio nel denominatore. La valutazione delle frazioni polinomiali richiede quindi il factoring prima del polinomio numeratore seguito dal factoring del polinomio denominatore. Aiuta a trovare il massimo fattore comune, o GCF, tra il numeratore e il denominatore. Una volta trovato il GCF sia del numeratore che del denominatore, questo si annulla, riducendo in definitiva l'intera equazione in termini semplificati. Considera l'esempio della frazione polinomiale originale sopra

(X² + 7x + 10) ÷ (x²+ 11x + 18).

Factoring dei polinomi numeratore e denominatore per trovare i risultati GCF in:

÷, con GCF essere (x + 2).

Il GCF sia nel numeratore che nel denominatore si annullano a vicenda per fornire la risposta finale nei termini più bassi di (x + 5) ÷ (x + 9).

Esempio:

X² + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)

__ = ___ = __

X²+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)

Valutazione delle equazioni tramite decomposizione parziale della frazione

La decomposizione della frazione parziale, che implica il factoring, è un modo di riscrivere equazioni complesse della frazione polinomiale in una forma più semplice. Rivisitare l'esempio dall'alto di

(8x + 7) ÷ (x² + x - 2).

Semplifica il denominatore

Semplifica il denominatore per ottenere: (8x + 7) ÷.

8x + 7 8x + 7

__ = __

X² + x - 2 (x + 2) (x - 1)

Riorganizzare il numeratore

Quindi, riorganizzare il numeratore in modo che inizi a disporre dei GCF presenti nel denominatore, per ottenere:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, che viene ulteriormente espanso a {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

____ = ___ = ______ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

Per l'addend di sinistra, GCF è (x - 1), mentre per l'addend di destra, GCF è (x + 2), che si annulla nel numeratore e denominatore, come si vede in {+}.

3x - 3 5x + 10 3(x - 1) 5(x + 2)

___ + __ = ___ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)

Pertanto, quando i GCF si annullano, la risposta semplificata finale è +:

3 5

__ + __ come soluzione della decomposizione della frazione parziale.

x + 2 x - 1