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Non tutte le funzioni algebriche possono essere semplicemente risolte tramite equazioni lineari o quadratiche. La decomposizione è un processo attraverso il quale è possibile suddividere una funzione complessa in più funzioni più piccole. In questo modo, è possibile risolvere le funzioni in pezzi più brevi e più comprensibili.
Funzioni di decomposizione
È possibile scomporre una funzione di x, espressa come f (x), se una parte dell'equazione può anche essere espressa come una funzione di x. Per esempio:
f (x) = 1 / (x ^ 2 -2)
Puoi esprimere x ^ 2 - 2 in funzione di x e posizionarlo in f (x). Puoi chiamare questa nuova funzione g (x).
g (x) = x ^ 2 - 2 f (x) = 1 / g (x)
Puoi impostare f (x) uguale a 1 / g (x) perché l'output di g (x) sarà sempre x ^ 2 - 2. Ma puoi scomporre ulteriormente questa funzione, esprimendo 1 diviso per una variabile come un funzione. Chiamare questa funzione h (x):
h (x) = 1 / x
È quindi possibile esprimere f (x) come nidificate le due funzioni scomposte:
f (x) = h (g (x))
Questo è vero perché:
h (g (x)) = h (x ^ 2 - 2) = 1 / (x ^ 2 - 2)
Risolvere utilizzando le funzioni decomposte
Le funzioni decomposte vengono risolte dall'interno verso l'esterno. Usando f (x) = h (g (x)), risolvi prima la funzione g, quindi la funzione h con l'output della funzione g.
Per esempio, x = 4. Prima risolvi per g (4).
g (4) = 4 ^ 2 - 2 = 16 - 2 = 14
Quindi si risolve h usando gs output, in questo caso 14.
h (14) = 1/14
Poiché f (4) è uguale a h (g (4)), f (4) è uguale a 14.
Decomposizioni alternative
La maggior parte delle funzioni che possono essere decomposte possono essere scomposte in più modi. Ad esempio, è possibile scomporre f (x) utilizzando invece le seguenti funzioni.
j (x) = x ^ 2 k (x) = 1 / (x - 2)
Posizionando j (x) come variabile per k (x) si ottiene 1 / (x ^ 2 - 2), quindi:
f (x) = k (j (x))